Solution:

(a) $\left[ \begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \\ 0 & -2 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 3 & 0 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ \begin{matrix} 2\times 2+3\times 3 & 2\times \left( -1 \right)+3\times 0 \\ 1\times 2+1\times 3 & 1\times \left( -1 \right)+1\times 0 \\ 0\times 2+\left( -2 \right)\times 3 & 0\times \left( -1 \right)+\left( -2 \right)\times 0 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ \begin{matrix} 4+9 & -2+0 \\ 2+3 & -1+0 \\ 0-6 & 0+0 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ \begin{matrix} 13 & -2 \\ 5 & -1 \\ -6 & 0 \\ \end{matrix} \right]$

So, $\left[ \begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \\ 0 & -2 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 3 & 0 \\ \end{matrix} \right]$ = $\left[ \begin{matrix} 13 & -2 \\ 5 & -1 \\ -6 & 0 \\ \end{matrix} \right]$

 

(b) $\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ -1 & 1 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ \begin{matrix} 1\times 1+2\times 3+3\times \left( -1 \right) & 1\times 2+2\times 4+3\times 1 \\ 4\times 1+5\times 3+6\times \left( -1 \right) & 4\times 2+5\times 4+6\times 1 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ \begin{matrix} 1+6-3 & 2+8+3 \\ 4+15-6 & 8+20+6 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ \begin{matrix} 4 & 13 \\ 13 & 34 \\ \end{matrix} \right]$

So, $\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ -1 & 1 \\ \end{matrix} \right]$ = $\left[ \begin{matrix} 4 & 13 \\ 13 & 34 \\ \end{matrix} \right]$

 

(c) $\left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ -1 & 1 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ \begin{matrix} 1\times 1+2\times 4 & 1\times 2+2\times 5 & 1\times 3+2\times 6 \\ 3\times 1+4\times 4 & 3\times 2+4\times 5 & 3\times 3+4\times 6 \\ -1\times 1+1\times 4 & -1\times 2+1\times 5 & -1\times 3+1\times 6 \\ \end{matrix} \right]$

. = $\left[ \begin{matrix} 1+8 & 2+10 & 3+12 \\ 3+16 & 6+20 & 9+24 \\ -1+4 & -2+5 & -3+6 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ \begin{matrix} 9 & 12 & 15 \\ 19 & 26 & 33 \\ 3 & 3 & 3 \\ \end{matrix} \right]$

So, $\left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ -1 & 1 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{matrix} \right]$ = $\left[ \begin{matrix} 9 & 12 & 15 \\ 19 & 26 & 33 \\ 3 & 3 & 3 \\ \end{matrix} \right]$

 

(d) $\left[ \begin{matrix} 8 & 5 \\ 6 & 4 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 2 & -\frac{5}{2} \\ -4 & 4 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ \begin{matrix} 8\times 2+5\times \left( -4 \right) & 8\times \left( -\frac{5}{2} \right)+5\times 4 \\ 6\times 2+4\times \left( -4 \right) & 6\times \left( -\frac{5}{2} \right)+4\times 4 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ \begin{matrix} 16-20 & -20+20 \\ 12-16 & -15+16 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ \begin{matrix} -4 & 0 \\ -4 & 1 \\ \end{matrix} \right]$

So, $\left[ \begin{matrix} 8 & 5 \\ 6 & 4 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 2 & \frac{-5}{2} \\ -4 & 4 \\ \end{matrix} \right]$ = $\left[ \begin{matrix} -4 & 0 \\ -4 & 1 \\ \end{matrix} \right]$

 

(e) $\left[ \begin{matrix} -1 & 2 \\ 1 & 3 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ \begin{matrix} -1\times 0+2\times 0 & -1\times 0+2\times 0 \\ 1\times 0+3\times 0 & 1\times 0+3\times 0 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ \begin{matrix} 0+0 & 0+0 \\ 0+0 & 0+0 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right]$

So, $\left[ \begin{matrix} -1 & 2 \\ 1 & 3 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right]=~\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right]$