Solution:

(i) 3A $-$ 2B

= $3\times \left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ 3 & 4 \\ \end{matrix} \right] - 2\times \left[ \begin{matrix} 0 & 7 \\ -3 & 8 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ \begin{matrix} 3~\times 1 & 3\times -2 \\ 3\times 3 & 3\times 4 \\ \end{matrix} \right]$ $-$ $\left[ \begin{matrix} 2\times 0 & 2\times 7 \\ 2\times \left( -3 \right) & 2\times 8 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ \begin{matrix} 3 & -6 \\ 9 & 12 \\ \end{matrix} \right]$ $-$ $\left[ \begin{matrix} 0 & 14 \\ -6 & 16 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ \begin{matrix} 3-0 & -6-14 \\ 9-\left( -6 \right) & 12-16 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ \begin{matrix} 3 & -20 \\ 15 & -4 \\ \end{matrix} \right]$

 

So, 3A $-$ 2B = $\left[ \begin{matrix} 3 & -20 \\ 15 & -4 \\ \end{matrix} \right]$

 

(ii) 2A$^{t} -$ 3B$^{t}$

A = $\left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ 3 & 4 \\ \end{matrix} \right]$

A$^{t}$ = $\left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ -2 & 4 \\ \end{matrix} \right]$

 

B = $\left[ \begin{matrix} 0 & 7 \\ -3 & 8 \\ \end{matrix} \right]$

B$^{t}$ = $\left[ \begin{matrix} 0 & -3 \\ 7 & 8 \\ \end{matrix} \right]$

 

2A$^{t} -$ 3B$^{t}$

= $2\times \left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ -2 & 4 \\ \end{matrix} \right]-3\times \left[ \begin{matrix} 0 & -3 \\ 7 & 8 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ \begin{matrix} 2\times 1 & 2\times 3 \\ 2\times \left( -2 \right) & 2\times 4 \\ \end{matrix} \right]-\left[ \begin{matrix} 3\times 0 & 3\times \left( -3 \right) \\ 3\times 7 & 3\times 8 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ \begin{matrix} 2 & 6 \\ -4 & 8 \\ \end{matrix} \right]-\left[ \begin{matrix} 0 & -9 \\ 21 & 24 \\ \end{matrix} \right]$

=$\left[ \begin{matrix} 2-0 & 6-\left( -9 \right) \\ -4-21 & 8-24 \\ \end{matrix} \right]$

=$\left[ \begin{matrix} 2 & 15 \\ -25 & -16 \\ \end{matrix} \right]$

 

So, 2A$^{t} -$ 3B$^{t}$ = $\left[ \begin{matrix} 2 & 15 \\ -25 & -16 \\ \end{matrix} \right]$